Como padronizar variáveis normais independentes para que a soma dos seus quadrados tenha distribuição qui-quadrado?

Padronize cada variável subtraindo a média e dividindo pela raiz da variância; então \(c_i=1/\mathrm{Var}(X_i)\) e \(n\) é o número de termos padronizados.

Explicação:
Se \(X\sim N(\mu,\sigma^2)\), então \(Z=(X-\mu)/\sigma\) é padrão. Para variáveis independentes \(X_i\), a soma \(\sum_{i=1}^n Z_i^2\) segue \(\chi^2_n\). Logo, escolhendo \(c_i=1/\sigma_i^2\) temos \(c_i(X_i-\mu_i)^2=Z_i^2\), e a soma corresponde a uma qui-quadrado com \(n\) graus de liberdade.

Exemplo:
Considere \(U\sim N(0,4)\) e \(V\sim N(0,9)\) independentes.
Padronizando, \(Z_1=U/2\), \(Z_2=V/3\).
Logo tome \(c_1=1/4\), \(c_2=1/9\).
Temos \(W=\tfrac{1}{4}U^2+\tfrac{1}{9}V^2=Z_1^2+Z_2^2\sim\chi^2_2\).