Dada m_Y(t)=e^{a\,(m_X(t)-1)}, como expressar E(Y) e Var(Y) em função de a, E(X) e Var(X)?

E(Y)=a\,E(X)
Var(Y)=a\,E(X^2)=a\big(\text{Var}(X)+E(X)^2\big)

Explicação:
Usando derivadas da função geradora de momentos, \(m_Y'(t)=m_Y(t)\,a\,m_X'(t)\), logo em \(t=0\), \(E(Y)=m_Y'(0)=a\,m_X'(0)=a\,E(X)\).
Para a segunda derivada, \(m_Y''(t)=m_Y(t)\big(a^2 m_X'(t)^2 + a\,m_X''(t)\big)\). Em \(t=0\) resulta \(m_Y''(0)=a^2E(X)^2 + a\,E(X^2)\). Assim \(\text{Var}(Y)=m_Y''(0)-[m_Y'(0)]^2=a\,E(X^2)=a\big(\text{Var}(X)+E(X)^2\big)\).

Exemplo:
Se \(a=3\), \(E(X)=1\) e \(\text{Var}(X)=2\), então \(E(X^2)=2+1^2=3\).
Calcula-se: \(E(Y)=3\cdot1=3\).
\( \text{Var}(Y)=3\cdot E(X^2)=3\cdot3=9\).
Logo o desvio padrão é \(\sqrt{9}=3\).