Como determinar o suporte inteiro e as probabilidades de uma v.a. discreta i.i.d. a partir de desigualdades sobre Y+Z, independência e equações de momentos?

Use as desigualdades para eliminar valores impossíveis do suporte, escreva equações lineares com os momentos e a soma das probabilidades, resolva o sistema, e aplique independência para eventos conjuntos.

Explicação:
1) das desigualdades sobre Y+Z determine quais valores inteiros não podem ocorrer, assim obtenha o suporte possível de cada variável,
2) use condições como \(E(Y)\), \(E(Y^2+Z^2)\) e a soma das probabilidades para montar um sistema linear em \(p_i=P(Y=x_i)\),
3) resolva o sistema sujeito a \(p_i\ge0\) e \(\sum p_i=1\), isso fornece as probabilidades de Y,
4) para probabilidades de eventos envolvendo Y e Z use independência, por exemplo \(P(\text{alguma }x)=1-(1-p_x)^2\) quando o evento é "pelo menos uma variável vale x".

Exemplo
Suponha suporte \(\{-1,2\}\). Seja \(p=P(Y=-1)\), \(1-p=P(Y=2)\). Se \(E(Y)=0\) então
\( -1\cdot p + 2(1-p)=0 \Rightarrow 2-3p=0 \Rightarrow p=\tfrac{2}{3},\; P(Y=2)=\tfrac{1}{3}.\)
Calcule \(E(Y^2+Z^2)=2E(Y^2)=2\big(1\cdot\tfrac{2}{3}+4\cdot\tfrac{1}{3}\big)=4\).
Para \(P(Y^2+Z^2>4)\) note que \(Y^2\in\{1,4\}\), a soma excede \(4\) quando pelo menos uma variável vale \(2\). Pela independência
\(P(\text{alguma }2)=1-(1-p_2)^2=1-\big(1-\tfrac{1}{3}\big)^2=1-(\tfrac{2}{3})^2=\tfrac{5}{9}.\)