Como calcular \(P(\max(X,Y)=k)\) em termos das PMFs marginais, quando X e Y são independentes?

\(P(\max(X,Y)=k)=P(X=k)P(Y\le k)+P(Y=k)P(X\le k)-P(X=k)P(Y=k)\)

Explicação:
Como o evento \{\max(X,Y)=k\} é a união de \{X=k,\;Y\le k\} e \{Y=k,\;X\le k\}, faz-se a soma das probabilidades desses dois eventos e subtrai-se a interseção \{X=k,Y=k\} para não contar duas vezes, usando independência para fatorar as probabilidades.

Exemplo:
Se \(P(X=1)=0.5,\;P(X=2)=0.3,\;P(X=3)=0.2\) e igual para Y, então
\(P(Y\le 2)=0.5+0.3=0.8\) e \(P(X\le 2)=0.8\). Aplicando a fórmula para \(k=2\):
\(P(\max(X,Y)=2)=P(X=2)P(Y\le2)+P(Y=2)P(X\le2)-P(X=2)P(Y=2)\)
\(=0.3\cdot0.8+0.3\cdot0.8-0.3\cdot0.3=0.24+0.24-0.09=0.39\).