Como calcular P(X = x \mid Y = y) usando probabilidades conjuntas ou condicionais?

P(X=x | Y=y) = \( \dfrac{P(X=x,Y=y)}{P(Y=y)} \) = \( \dfrac{P(X=x)\,P(Y=y\mid X=x)}{P(Y=y)} \).

Explicação e exemplo
Para obter a distribuição condicional, divide-se a probabilidade conjunta pelo total de probabilidade do evento condicionado, assim se obtém uma distribuição sobre X dada Y.

Exemplo: escolha entre duas caixas, caixa A com probabilidade 0.6 e caixa B com probabilidade 0.4. Na caixa A há 3 bolas vermelhas e 1 azul, então \(P(\text{azul}\mid A)=1/4\). Na caixa B há 1 vermelha e 3 azuis, então \(P(\text{azul}\mid B)=3/4\).
Calcule \(P(A\mid \text{azul})\):
\(P(A\cap \text{azul})=0{,}6\cdot\frac{1}{4}=0{,}15\).
\(P(\text{azul})=0{,}15+0{,}4\cdot\frac{3}{4}=0{,}15+0{,}30=0{,}45\).
Logo \(P(A\mid \text{azul})=\dfrac{0{,}15}{0{,}45}=\dfrac{1}{3}\).
E \(P(B\mid \text{azul})=1-\tfrac{1}{3}=\tfrac{2}{3}\).