Como se calcula E(XY) usando a esperança condicional E(Y|X)?

\(E(XY)=E\big[X\,E(Y\mid X)\big]\).

Explicação:
Calcule primeiro \(E(Y\mid X=x)\) a partir da distribuição condicional de \(Y\) dado \(X=x\), depois avalie \(E\big[X\,E(Y\mid X)\big]\) integrando em relação à lei marginal de \(X\), \(E(XY)=\int x\,E(Y\mid X=x)\,f_X(x)\,dx\).

Exemplo:
Suponha \(X\sim U(0,2)\) e, condicionalmente, \(Y\mid X=x\sim\) Exponencial com média \(x\), isto é \(f(y\mid x)=\tfrac{1}{x}e^{-y/x},\ y>0\).
Então \(E(Y\mid X=x)=x\), logo \(E(XY)=E[X\cdot x]=E(X^2)\).
Como \(f_X(x)=\tfrac{1}{2}\) para \(0\(E(X^2)=\int_0^2 x^2\cdot\tfrac{1}{2}\,dx=\tfrac{1}{2}\cdot\Big[\tfrac{x^3}{3}\Big]_0^2=\tfrac{4}{3}\).
Portanto \(E(XY)=\tfrac{4}{3}\).