Flashcard FC624704
Como obter F_X(x) e f_X(x) a partir de P(X>x) quando essa probabilidade é dada pela área (ou medida) de uma região geométrica dependente de x?
Variáveis Aleatórias Multidimensionais
CESGRANRIO · 2013
Como obter F_X(x) e f_X(x) a partir de P(X>x) quando essa probabilidade é dada pela área (ou medida) de uma região geométrica dependente de x?
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Resposta
F_X(x)=1-P(X>x), f_X(x)=\dfrac{d}{dx}F_X(x).Calcule primeiro a função de sobrevivência \(S(x)=P(X>x)\) interpretando-a como a área ou medida da região geométrica onde a variável excede \(x\). Em seguida obtenha \(F_X(x)=1-S(x)\) e derive para obter \(f_X(x)=F'_X(x)\).
Exemplo:
Considere um ponto uniformemente distribuído no disco unitário, e seja \(X\) a distância desse ponto à borda do disco. A região com \(X>x\) é o disco de raio \(1-x\), logo
\(P(X>x)=\dfrac{\pi(1-x)^2}{\pi}=(1-x)^2,\quad 0\le x\le1\).
Portanto \(F_X(x)=1-(1-x)^2\) e
\(f_X(x)=\dfrac{d}{dx}\big(1-(1-x)^2\big)=2(1-x),\quad 0\le x\le1\).
Veja como foi cobrado:
https://flashcardsconcursos.com.br/portal/flashcard/624045
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