Flashcard FC624716
Qual é a ordem entre as variâncias \(V_I\), \(V_{II}\) e \(V_{III}\) dos estimadores da média em amostragem estratificada?
Amostragem
CESGRANRIO · 2018
Qual é a ordem entre as variâncias \(V_I\), \(V_{II}\) e \(V_{III}\) dos estimadores da média em amostragem estratificada?
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Resposta
\(V_{III} \le V_{II} \le V_{I}\)Explicação:
A variância populacional decompõe-se em \(S^2=\sum_h W_h S_h^2+\sum_h W_h(\bar Y_h-\bar Y)^2\), multiplicando por \(\dfrac{1-f}{n}\) obtém-se
\(V_I=V_{II}+\dfrac{1-f}{n}\sum_h W_h(\bar Y_h-\bar Y)^2\), logo \(V_I\ge V_{II}\), pois o termo adicional é não negativo.
Além disso
\(V_{II}-V_{III}=\dfrac{1}{n}\Big(\sum_h W_h S_h^2-(\sum_h W_h S_h)^2\Big)=\dfrac{1}{n}\sum_h W_h(S_h-\bar S)^2\ge0\), onde \(\bar S=\sum_h W_h S_h\), portanto \(V_{II}\ge V_{III}\).
Exemplo:
Considere \(L=2\), \(W_1=0{,}6\), \(W_2=0{,}4\), \(S_1=10\), \(S_2=5\), \(n=100\), e médias de estrato \(\bar Y_1=100\), \(\bar Y_2=90\), logo \(\bar Y=0{,}6\cdot100+0{,}4\cdot90=96\).
Calcule
\(V_{II}=\dfrac{1-f}{n}\sum_h W_h S_h^2\approx\dfrac{1}{100}(0{,}6\cdot100+0{,}4\cdot25)=0{,}70\).
\(V_{III}\approx\dfrac{(\sum_h W_h S_h)^2}{n}=\dfrac{(0{,}6\cdot10+0{,}4\cdot5)^2}{100}=\dfrac{8^2}{100}=0{,}64\).
\(V_I=V_{II}+\dfrac{1-f}{n}\sum_h W_h(\bar Y_h-\bar Y)^2\approx0{,}70+\dfrac{24}{100}=0{,}94\), onde \(\sum_h W_h(\bar Y_h-\bar Y)^2=0{,}6\cdot4^2+0{,}4\cdot(-6)^2=24\).
Assim, \(0{,}64=V_{III}\le0{,}70=V_{II}\le0{,}94=V_I\), confirmando a ordem.
Veja como foi cobrado:
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