Como padroniza-se a média amostral e como expressar P(\bar{X} \ge c) em termos de \Phi?

Padronização: \(Z=\dfrac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\), então \(P(\bar{X}\ge c)=1-\Phi\!\left(\dfrac{c-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\right).\)

Explicação:
Se a população tem distribuição Normal com média \(\mu\) e desvio padrão \(\sigma\), a média amostral de tamanho \(n\) tem distribuição Normal com média \(\mu\) e desvio padrão \(\sigma/\sqrt{n}\).
Padronizando \(\bar{X}\) obtemos uma variável normal padrão \(Z\), por isso probabilidades envolvendo \(\bar{X}\) são obtidas por \(\Phi\).

Exemplo:
Suponha que uma população tenha \(\mu=50\) e \(\sigma=10\), e \(n=25\). Queremos \(P(\bar{X}\ge 54)\).
\(\sigma_{\bar{X}}=\dfrac{10}{\sqrt{25}}=\dfrac{10}{5}=2\)
\(Z=\dfrac{54-50}{2}=\dfrac{4}{2}=2\)
Então \(P(\bar{X}\ge 54)=1-\Phi(2)\).