Por que \(\hat{p}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n Y_i\) é um estimador não tendencioso de \(p\) em amostragem aleatória sem reposição?

Porque, para cada indicador \(Y_i\), tem-se \(E(Y_i)=p\), e pela linearidade da esperança \(E(\hat{p})=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n E(Y_i)=p\).

Explicação e exemplo:
Em amostragem aleatória sem reposição, cada unidade da população tem probabilidade \(p\) de possuir a característica, então \(E(Y_i)=p\) para todo \(i\).
Portanto, \(E(\hat{p})=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n E(Y_i)=\dfrac{1}{n}\cdot n p=p\), o que mostra que \(\hat{p}\) é não tendencioso.
Além disso, o estimador do total \(\hat{\tau}=N\hat{p}\) satisfaz \(E(\hat{\tau})=N E(\hat{p})=N p=\tau\), logo também é não tendencioso.

exemplo:
Considere uma população de \(N=1000\) com proporção desconhecida \(p\). Se se extrai uma amostra de \(n=50\) sem reposição e definem-se os indicadores \(Y_i\), então
\( \hat{p}=\dfrac{1}{50}\sum_{i=1}^{50}Y_i\), e por expectativa
\( E(\hat{p})=\dfrac{1}{50}\sum_{i=1}^{50}E(Y_i)=p\).
Se \(p=0{,}20\), o total verdadeiro é \(\tau=Np=1000\times0{,}20=200\), e espera-se \(E(\hat{\tau})=1000E(\hat{p})=200\).