Flashcard FC624726
Como verificar se um estimador linear da média é não tendencioso e como comparar a eficiência entre dois estimadores não tendenciosos?
Característica dos Estimadores
CESGRANRIO · 2018
Como verificar se um estimador linear da média é não tendencioso e como comparar a eficiência entre dois estimadores não tendenciosos?
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Resposta
Um estimador linear é não tendencioso se a soma dos pesos for 1; entre não tendenciosos, o mais eficiente tem menor variância.Explicação:
Para um estimador linear \(\hat{\mu}=\sum_i a_i Y_i\), temos \(E(\hat{\mu})=\sum_i a_i E(Y_i)=\left(\sum_i a_i\right)\mu\). Assim, é não tendencioso se \(\sum_i a_i=1\).
Assumindo \(Y_i\) independentes com \(Var(Y_i)=\sigma^2\), a variância é \(Var(\hat{\mu})=\left(\sum_i a_i^2\right)\sigma^2\). Dois estimadores não tendenciosos são comparáveis pela variância, o menor valor indica maior eficiência.
Exemplo prático:
Considere duas amostras de tamanho 2, estimadores
\(\hat{\mu}_A=\frac{2Y_1+Y_2}{3}\) e \(\hat{\mu}_B=\frac{Y_1+Y_2}{2}\).
Verificação de não tendenciosidade:
\(\sum a_i(\hat{\mu}_A)=\frac{2+1}{3}=1\), logo \(E(\hat{\mu}_A)=\mu\).
\(\sum a_i(\hat{\mu}_B)=\frac{1+1}{2}=1\), logo \(E(\hat{\mu}_B)=\mu\).
Cálculo das variâncias:
\(Var(\hat{\mu}_A)=\frac{2^2+1^2}{3^2}\sigma^2=\frac{5}{9}\sigma^2\).
\(Var(\hat{\mu}_B)=\frac{1^2+1^2}{2^2}\sigma^2=\frac{1}{2}\sigma^2\).
Como \(\tfrac{1}{2}\sigma^2<\tfrac{5}{9}\sigma^2\), \(\hat{\mu}_B\) é mais eficiente que \(\hat{\mu}_A\).
Veja como foi cobrado:
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