Em que condição o estimador de 2SLS coincide com o estimador de IV para um regressor endógeno?

Quando há apenas um regressor endógeno e se utiliza o mesmo conjunto de instrumentos.

Explicação:
Com X endógeno e Z instrumentos, o primeiro estágio projeta X sobre Z, \(\hat X = P_Z X\), onde \(P_Z = Z(Z'Z)^{-1}Z'\).
O estimador de 2SLS é \(\hat\beta_{2SLS} = (\hat X'\hat X)^{-1}\hat X'Y\). Substituindo \(\hat X = P_Z X\) obtém-se
\(\hat\beta_{2SLS} = (X'P_Z X)^{-1}X'P_Z Y\), que é exatamente a forma do estimador IV baseado nas equações de momento, logo coincidem.

Exemplo:
Suponha que se estime o efeito de horas de treinamento \(X\) sobre produtividade \(Y\) usando uma variável binária \(Z\) que indica sorteio para participar do programa como instrumento.
Primeiro estágio: \(X = \pi_0 + \pi_1 Z + v\), obtém-se \(\hat X = P_Z X\).
Se numericamente \(X'P_Z X = 200\) e \(X'P_Z Y = 500\), então
\(\hat\beta = \dfrac{X'P_Z Y}{X'P_Z X} = \dfrac{500}{200} = 2{,}5\).
Assim, tanto o procedimento de projetar e regredir (2SLS) quanto as condições de momento (IV) produzem o mesmo valor para o coeficiente.