Flashcard FC624728
Quais hipóteses sobre o termo de erro garantem que o MQO seja não viesado e eficiente entre os lineares não viesados?
Característica dos Estimadores
CESGRANRIO · 2024
Quais hipóteses sobre o termo de erro garantem que o MQO seja não viesado e eficiente entre os lineares não viesados?
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Resposta
E[ε_i]=0 e ausência de autocorrelação, isto é \(Cov(\varepsilon_i,\varepsilon_j)=0\) para \(i\neq j\).Explicação:
Se \(E[\varepsilon_i]=0\), então para a regressão simples vale
\( \hat\beta_1 = \beta_1 + \dfrac{\sum x_i\varepsilon_i}{\sum x_i^2}\),
logo \(E[\hat\beta_1]=\beta_1\) porque \(E[\varepsilon_i]=0\), portanto o estimador é não viesado.
Se além disso os erros são incorrelacionados, a matriz de variância-covariância é diagonal, e pelo Teorema de Gauss-Markov os estimadores MQO são os BLUE, eficientes entre os lineares não viesados.
Exemplo:
Considere \(y=\beta_0+\beta_1 x+\varepsilon\) com \(\sigma^2=1\) e duas observações \(x_1=1,x_2=2\).
Sem autocorrelação, variância do numerador é \(1^2\cdot1+2^2\cdot1=5\), então
\(Var(\hat\beta_1)=\dfrac{5}{(\sum x_i^2)^2}=\dfrac{5}{25}=0{,}20\).
Se \(Cov(\varepsilon_1,\varepsilon_2)=0{,}5\), então a variância do numerador é \(1+4+2\cdot1\cdot2\cdot0{,}5=7\), e
\(Var(\hat\beta_1)=\dfrac{7}{25}=0{,}28\).
Assim, correlação positiva entre erros aumenta a variância do estimador, tornando-o ineficiente e prejudicando a inferência.
Veja como foi cobrado:
https://flashcardsconcursos.com.br/portal/flashcard/624069
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