Como se obtém o estimador de máxima verossimilhança para um parâmetro θ a partir da verossimilhança?

Resposta

Maximizando a verossimilhança (ou a log-verossimilhança), derivando em relação a θ, igualando a zero e verificando que a segunda derivada é negativa.

Forme a função de verossimilhança \(L(\theta)=\prod_{i=1}^n f(x_i|\theta)\), aplique o logaritmo para obter \(\ln L(\theta)\), calcule \(\dfrac{d}{d\theta}\ln L(\theta)=0\) e resolva para \(\hat\theta\), por fim verifique \(\dfrac{d^2}{d\theta^2}\ln L(\theta)<0\) para garantir máximo.

Exemplo:
Considere a distribuição exponencial \(f(x|\lambda)=\lambda e^{-\lambda x}, x\ge0\). Para amostra \(x_1,\dots,x_n\):
\(L(\lambda)=\lambda^n e^{-\lambda\sum_{i=1}^n x_i}\)
\(\ln L(\lambda)=n\ln\lambda-\lambda\sum_{i=1}^n x_i\)
\(\dfrac{d}{d\lambda}\ln L=\dfrac{n}{\lambda}-\sum_{i=1}^n x_i=0\Rightarrow \hat\lambda=\dfrac{n}{\sum_{i=1}^n x_i}\)
Segunda derivada \(\dfrac{d^2}{d\lambda^2}\ln L=-\dfrac{n}{\lambda^2}<0\), portanto é máximo.