Qual é o estimador de máxima verossimilhança do parâmetro \(\lambda\) em uma Poisson e como estimar \(P(X\le 1)\) com esse estimador?

O MLE é \(\hat{\lambda}=\bar{X}\); então \(P(X\le 1)\approx e^{-\hat{\lambda}}(1+\hat{\lambda})\).

Explicação
Para a distribuição Poisson, a verossimilhança leva ao estimador \(\hat{\lambda}=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\).
Usa-se o princípio plug-in, substituindo \(\lambda\) por \(\hat{\lambda}\) na probabilidade teórica, resultando em \(P(X\le1)=e^{-\hat{\lambda}}(1+\hat{\lambda})\).

exemplo
Observações: 0, 2, 1, 3, 0 (n=5).
\(\sum X_i=6,\ \hat{\lambda}=\bar X=\dfrac{6}{5}=1.2.\)
\(P(X\le1)\approx e^{-1.2}(1+1.2)=2.2\,e^{-1.2}\approx 0.663.\)