Qual é o estimador de máxima verossimilhança para θ na distribuição geométrica com \(P(X=k)=(1-\theta)^{k-1}\theta\), expresso em função da amostra?

\(\hat\theta=\dfrac{n}{\sum_{i=1}^n x_i}\)

Explicação:
Para uma amostra iid \(x_1,\dots,x_n\), a verossimilhança é \(L(\theta)=\prod_{i=1}^n(1-\theta)^{x_i-1}\theta^n=\theta^n(1-\theta)^{\sum x_i-n}\).
Tomando log, \(\ell(\theta)=n\ln\theta+(\sum x_i-n)\ln(1-\theta)\).
Derivando e igualando a zero, \(\dfrac{n}{\theta}-\dfrac{\sum x_i-n}{1-\theta}=0\), segue \(n(1-\theta)=\theta\sum x_i-\theta n\), portanto \(\theta=\dfrac{n}{\sum x_i}\).

Exemplo:
Suponha a amostra \( \{1,2,2,3,4\}\), então \(n=5\) e \(\sum x_i=12\).
Logo \(\hat\theta=\dfrac{5}{12}\approx0{,}4167\).