Como obter o estimador de máxima verossimilhança a partir da log-verossimilhança e como confirmar que é um máximo?

Calcule a derivada da log-verossimilhança, iguale a zero para obter \(\hat\theta\), e verifique que a segunda derivada é negativa.

Procedimento:
1. Escreva a log-verossimilhança \(\ell(\theta)\).
2. Resolva \(\dfrac{d\ell}{d\theta}=0\) para \(\hat\theta\).
3. Verifique \(\dfrac{d^2\ell}{d\theta^2}<0\) para confirmar máximo.

Exemplo:
Considere a distribuição exponencial \(f(x;\lambda)=\lambda e^{-\lambda x},\,x>0,\,\lambda>0\).
Log-verossimilhança: \(\ell(\lambda)=n\ln\lambda-\lambda\sum_{i=1}^n x_i\).
Derivando e igualando a zero: \(\dfrac{d\ell}{d\lambda}=\dfrac{n}{\lambda}-\sum_{i=1}^n x_i=0\Rightarrow \hat\lambda=\dfrac{n}{\sum_{i=1}^n x_i}\).
Segunda derivada: \(\dfrac{d^2\ell}{d\lambda^2}=-\dfrac{n}{\lambda^2}<0\), confirma máximo.
Exemplo numérico: para \(n=3\) e dados \(2,1,3\), \(\sum x_i=6\), então \(\hat\lambda=3/6=0{,}5\).