Flashcard FC624742
De acordo com o assunto Estatística: Característica dos Estimadores, responda: Se o viés de um estimador tende a zero e sua variância tende a zero quando n→∞, ele é consistente? Ju
Característica dos Estimadores
CESGRANRIO · 2014
Se o viés de um estimador tende a zero e sua variância tende a zero quando n→∞, ele é consistente? Justifique via MSE.
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Resposta
Sim.O erro quadrático médio satisfaz \(MSE(\hat\theta_n)=Var(\hat\theta_n)+Bias(\hat\theta_n)^2\). Se \(Bias(\hat\theta_n)\to0\) e \(Var(\hat\theta_n)\to0\), então \(MSE(\hat\theta_n)\to0\). Pela desigualdade de Chebyshev, para todo \(\varepsilon>0\), \(P(|\hat\theta_n-\theta|>\varepsilon)\le \dfrac{MSE(\hat\theta_n)}{\varepsilon^2}\to0\), logo \(\hat\theta_n\) converge em probabilidade para \(\theta\), ou seja, é consistente.
Exemplo:
Considere uma amostra i.i.d. de Bernoulli(p) e o estimador da proporção \(\hat p=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\).
\(E(\hat p)=p,\;Bias(\hat p)=0\).
\(Var(\hat p)=\dfrac{p(1-p)}{n}\to0\) quando \(n\to\infty\).
Como \(MSE(\hat p)=Var(\hat p)\to0\), segue que \(\hat p\) é consistente para \(p\).
Veja como foi cobrado:
https://flashcardsconcursos.com.br/portal/flashcard/624083
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