Qual o viés do estimador \(\bar{X}^2\) ao estimar \(\mu^2\)?

\(\text{Viés} = \dfrac{\sigma^2}{n}\)

Explicação:
Partindo de \(\mathrm{Var}(Y)=E(Y^2)-E(Y)^2\), obtemos \(E(Y^2)=E(Y)^2+\mathrm{Var}(Y)\).
Aplicando a \( \bar{X} \), com \(E(\bar{X})=\mu\) e \(\mathrm{Var}(\bar{X})=\dfrac{\sigma^2}{n}\), vem
\(E(\bar{X}^2)=\mu^2+\dfrac{\sigma^2}{n}\).
Logo o viés, \(E(\bar{X}^2)-\mu^2\), é \(\dfrac{\sigma^2}{n}\).

Exemplo:
Suponha \(\mu=10\), \(\sigma^2=4\) e \(n=16\).
Então o viés é \(\dfrac{4}{16}=0{,}25\), e \(E(\bar{X}^2)=10^2+0{,}25=100{,}25\), ou seja, em média \(\bar{X}^2\) sobrestima \(\mu^2=100\) por \(0{,}25\).