Qual é a quantidade pivotal usada para construir o intervalo de confiança (1-\(\alpha\)) para \(\sigma^2\) em amostra normal e qual a forma do intervalo?

Quantidade pivotal: \( \dfrac{nS^2}{\sigma^2}\sim\chi^2_{\,n-1}\), onde \(S^2=\dfrac{\sum_{i=1}^n(Y_i-\bar Y)^2}{n}\).

Intervalo de confiança (1-\(\alpha\)) para \(\sigma^2\):
\( \displaystyle \left(\frac{nS^2}{\chi^2_{1-\alpha/2,\;n-1}}\;,\;\frac{nS^2}{\chi^2_{\alpha/2,\;n-1}}\right)\).

Explicação:
Usando a pivotal \( \dfrac{nS^2}{\sigma^2}\) que segue \(\chi^2_{n-1}\), escolhemos os quantis \(\chi^2_{\alpha/2,n-1}\) e \(\chi^2_{1-\alpha/2,n-1}\) tais que
\( \Pr\!\big(\chi^2_{\alpha/2,n-1}\le \dfrac{nS^2}{\sigma^2}\le \chi^2_{1-\alpha/2,n-1}\big)=1-\alpha\), invertendo obtemos o intervalo acima.

Exemplo:
Suponha \(n=12\) e que, a partir dos dados, \(S^2=25\). Então o IC (1-\(\alpha\)) para \(\sigma^2\) é
\( \displaystyle \left(\frac{12\cdot 25}{\chi^2_{1-\alpha/2,11}}\;,\;\frac{12\cdot 25}{\chi^2_{\alpha/2,11}}\right)\).
Para \(\alpha=0.05\) isto fica
\( \displaystyle \left(\frac{300}{\chi^2_{0.975,11}}\;,\;\frac{300}{\chi^2_{0.025,11}}\right)\), onde os valores numéricos dos quantis são obtidos em tabela ou software.