Como determinar o menor número de sucessos em uma amostra de tamanho n necessário para rejeitar \(H_0: p=p_0\) em favor de \(p>p_0\) ao nível de significância \(\alpha\)?

Calcule o limite crítico \( \hat p_c = p_0 + z_{1-\alpha}\sqrt{\dfrac{p_0(1-p_0)}{n}}\), multiplique por \(n\) e arredonde para cima.

Explicação completa, usando a estatística \(Z=\dfrac{\hat p-p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)/n}}\), para um teste unilateral à direita exige-se \(Z>z_{1-\alpha}\). Assim

\( \hat p > p_0 + z_{1-\alpha}\sqrt{\dfrac{p_0(1-p_0)}{n}} = \hat p_c\).

O menor número de sucessos é \(k_{\min}=\lceil n\hat p_c\rceil\), onde \(\lceil\cdot\rceil\) é o teto.

Exemplo:
Considere \(p_0=0{,}4\), \(n=500\), \(\alpha=0{,}01\) (unilateral). \\(z_{1-\alpha}=z_{0{,}99}\approx2{,}3263\\).
Desvio sob \(H_0\): \\(\sqrt{\dfrac{0{,}4\cdot0{,}6}{500}}=\sqrt{0{,}24/500}\approx0{,}0219089\\).
Limite crítico: \\(\hat p_c=0{,}4+2{,}3263\cdot0{,}0219089\approx0{,}45097\\).
Menor número de sucessos: \\(k_{\min}=\lceil500\cdot0{,}45097\rceil=\lceil225{,}485\rceil=226\\.