Como calcular os coeficientes da reta de regressão por mínimos quadrados em regressão linear simples?

\( \beta=\dfrac{S_{xy}}{S_{xx}},\ \alpha=\bar y-\beta\bar x \)

Calcule as médias, depois \(S_{xy}=\sum (x_i-\bar x)(y_i-\bar y)\) e \(S_{xx}=\sum (x_i-\bar x)^2\), obtenha \(\beta\) e \(\alpha\), e preveja com \(\hat y=\alpha+\beta x\).

Exemplo:
Dados: x = 1, 2, 3, 4; y = 2, 2.5, 3.5, 5
\(\bar x=\dfrac{1+2+3+4}{4}=2.5\), \(\bar y=\dfrac{2+2.5+3.5+5}{4}=3.25\)
\(S_{xy}=\sum (x_i-\bar x)(y_i-\bar y)=1.875+0.375+0.125+2.625=5\)
\(S_{xx}=(-1.5)^2+(-0.5)^2+0.5^2+1.5^2=5\)
\(\beta=5/5=1\), \(\alpha=3.25-1\cdot2.5=0.75\)
Reta ajustada: \(\hat y=0.75+1\cdot x\).
Exemplo de previsão: para \(x=5\), \(\hat y=0.75+5=5.75\).