Se X e Y são padronizadas (média 0, variância 1), como se obtêm β0, β1 e R^2 a partir de cov(X,Y)?

β1 = cov(X,Y), β0 = 0, R^2 = [cov(X,Y)]^2.

Explicação,
Como ρ = cov(X,Y)/(σ_X σ_Y) e σ_X=σ_Y=1, vem ρ = cov(X,Y).
O coeficiente angular populacional é \( \beta_1=\dfrac{\text{cov}(X,Y)}{\text{Var}(X)}\), com Var(X)=1, então \( \beta_1=\text{cov}(X,Y)\).
O intercepto é \( \beta_0=E(Y)-\beta_1E(X)\), com médias zero, logo \( \beta_0=0\).
Como \(R^2=\rho^2\), segue \(R^2=\text{cov}(X,Y)^2\).

Exemplo:
Suponha cov(X,Y)=0,30, então:
\( \rho=\dfrac{0{,}30}{1\cdot1}=0{,}30\)
\( \beta_1=\dfrac{0{,}30}{1}=0{,}30\)
\( \beta_0=0\)
\( R^2=\rho^2=0{,}30^2=0{,}09\)