Flashcard FC624810
Em regressão linear sem intercepto, quais valores o coeficiente de determinação R² pode assumir e por quê?
Regressão
CESGRANRIO · 2014
Em regressão linear sem intercepto, quais valores o coeficiente de determinação R² pode assumir e por quê?
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Resposta
R² pode ser positivo, zero ou negativo, porque sem intercepto a decomposição \(SST=SSR+SSE\) não vale.
Definição: \(R^2=1-\dfrac{\sum (y_i-\hat y_i)^2}{\sum (y_i-\bar y)^2}\).
Com intercepto existe a identidade \(\sum (y_i-\bar y)^2=\sum (\hat y_i-\bar y)^2+\sum (y_i-\hat y_i)^2\), garantindo \(0\le R^2\le1\).
Sem intercepto a soma dos erros não precisa ser nula, portanto \(\sum (y_i-\hat y_i)^2\) pode ser maior, igual ou menor que \(\sum (y_i-\bar y)^2\), gerando R² negativo, zero ou positivo.
Exemplo:
Dados: \(x=(1,2,3),\; y=(1,0,1)\).
Cálculo do coeficiente sem intercepto: \(b=\dfrac{\sum x_i y_i}{\sum x_i^2}=\dfrac{1\cdot1+2\cdot0+3\cdot1}{1+4+9}=\dfrac{4}{14}=\dfrac{2}{7}.\)
Previsões: \(\hat y=(2/7,4/7,6/7)\).
Resíduos ao quadrado e SSE: \(\sum(y_i-\hat y_i)^2=\dfrac{25+16+1}{49}=\dfrac{42}{49}\approx0{,}8571429.\)
SST: \(\sum(y_i-\bar y)^2\), com \(\bar y=2/3\), resulta em \(\dfrac{2}{3}\approx0{,}6666667.\)
Logo \(R^2=1-\dfrac{42/49}{2/3}=1-\dfrac{126}{98}=1-1{,}285714\approx-0{,}285714\), negativo, ilustrando o ponto.
Veja como foi cobrado:
https://flashcardsconcursos.com.br/portal/flashcard/624151
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