Como se constrói o intervalo de confiança de nível (1-α) para o coeficiente angular \( \beta_1 \) na regressão linear simples?

O intervalo é \( \widehat{\beta}_1 \pm t_{1-\alpha/2,\,n-2}\sqrt{\dfrac{\text{MSE}}{S_{xx}}}\).

Onde \( \widehat{\beta}_1\) é o estimador da inclinação, \(t_{1-\alpha/2,\,n-2}\) é o quantil t com \(n-2\) graus de liberdade, \(\text{MSE}=\dfrac{\text{SSE}}{n-2}\) e \(S_{xx}=\sum (x_i-\bar{x})^2\).

exemplo
Suponha \(n=12\), \(\widehat{\beta}_1=2{,}5\), \(\text{SSE}=180\), \(\text{SSR}=150\).
Calcule \(S_{xx}=\dfrac{\text{SSR}}{\widehat{\beta}_1^{2}}=\dfrac{150}{2{,}5^2}=\dfrac{150}{6{,}25}=24\).
Calcule \(\text{MSE}=\dfrac{180}{12-2}=\dfrac{180}{10}=18\).
Erro padrão \(=\sqrt{\dfrac{\text{MSE}}{S_{xx}}}=\sqrt{\dfrac{18}{24}}=\sqrt{0{,}75}\approx 0{,}8660\).
Para 95% de confiança, \(t_{0{,}975;10}\approx 2{,}228\).
Intervalo \(=2{,}5 \pm 2{,}228\cdot 0{,}8660 \approx (0{,}57,\;4{,}43)\).