Como se calcula a estatística F para testar conjuntamente q coeficientes nulos usando os R^2 dos modelos restrito e irrestrito, e como obter o R^2 do modelo restrito a partir do co

Resposta

F = \(\dfrac{(R^2_{ur}-R^2_{r})/q}{(1-R^2_{ur})/(n-k-1)}\), e quando o modelo restrito tem apenas um regressor, \(R^2_{r}=\hat\beta^2\,(S_X^2/S_Y^2)\).

Explicação:
Para testar q restrições, usa-se a diferença entre os coeficientes de determinação do modelo irrestrito e do restrito, escalonada por q, e normalizada pela variância não explicada do modelo irrestrito, com graus de liberdade \(n-k-1\).
Se o modelo restrito é a regressão simples com coeficiente \(\hat\beta\), pode-se obter \(R^2_r\) por \(r^2=\hat\beta^2\,(S_X^2/S_Y^2)\), onde \(S_X^2=\sum (X_i-\bar X)^2\) e \(S_Y^2=\sum (Y_i-\bar Y)^2\).

Exemplo:
Suponha \(n=40\), \(k=4\) (regressores no modelo irrestrito), \(q=2\), \(R^2_{ur}=0{,}60\). No modelo restrito, \(\hat\beta=1\), \(\sum (X-\bar X)^2=20\), \(\sum (Y-\bar Y)^2=200\).
\(R^2_r=\hat\beta^2\frac{S_X^2}{S_Y^2}=1^2\cdot\frac{20}{200}=0{,}10\).
Numerador: \(\dfrac{R^2_{ur}-R^2_r}{q}=\dfrac{0{,}60-0{,}10}{2}=0{,}25\).
Denominador: \(\dfrac{1-R^2_{ur}}{n-k-1}=\dfrac{1-0{,}60}{40-4-1}=\dfrac{0{,}40}{35}\approx0{,}0114286\).
Assim \(F=\dfrac{0{,}25}{0{,}0114286}\approx21{,}88\).