Flashcard FC624829
Por que H é chamada de matriz de projeção e qual a relação entre H, \(\hat{Y}\) e os resíduos \(e\)?
Regressão
CESGRANRIO · 2018
Por que H é chamada de matriz de projeção e qual a relação entre H, \(\hat{Y}\) e os resíduos \(e\)?
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Resposta
H projeta Y no espaço coluna de X, é simétrica e idempotente, logo \(\hat{Y}=HY\), \(e=(I-H)Y\) e \(H(I-H)=0\).Explicação:
A idempotência significa \(H^2=H\), e a simetria \(H^T=H\).
Com \(H=X(X^TX)^{-1}X^T\) temos \(H^2=X(X^TX)^{-1}X^T X (X^TX)^{-1}X^T = H\), e assim \(H(I-H)=H-H^2=0\).
Os valores ajustados são \(\hat{Y}=HY\), os resíduos são \(e=Y-\hat{Y}=(I-H)Y\), e a igualdade \(H(I-H)=0\) expressa a ortogonalidade entre o espaço ajustado e o espaço dos resíduos.
Exemplo:
Considere \(X=\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&1\\[4pt]0&0\end{pmatrix}\), então \(X^TX=I_2\) e \(H=XX^T=\begin{pmatrix}1&0&0\\[4pt]0&1&0\\[4pt]0&0&0\end{pmatrix}\).
Verificações: \(H^2=H\), \((I-H)=\begin{pmatrix}0&0&0\\[4pt]0&0&0\\[4pt]0&0&1\end{pmatrix}\), e \(H(I-H)=0\).
Para \(Y=(y_1,y_2,y_3)^T\), \(\hat{Y}=HY=(y_1,y_2,0)^T\) e \(e=(I-H)Y=(0,0,y_3)^T\), mostrando a projeção e a relação \(e=(I-H)Y\).
Veja como foi cobrado:
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