Flashcard FC624831
Como se obtêm as equações normais dos estimadores de mínimos quadrados em um modelo linear com intercepto e uma variável transformada?
Regressão
CESGRANRIO · 2014
Como se obtêm as equações normais dos estimadores de mínimos quadrados em um modelo linear com intercepto e uma variável transformada?
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Resposta
Igualando a zero as derivadas parciais da soma dos quadrados dos resíduos, obtemos a forma matricial \(X'X\hat\beta=X'Y\).Explicação:
Considere regressão com intercepto e regressor transformado \(z_i=f(x_i)\). Monta-se a matriz \(X=[\mathbf{1}\;\; \mathbf{z}]\), então as equações normais são
\(\;\hat\beta=,\) isto é
\(<\begin{bmatrix} n & \sum z_i \\ \sum z_i & \sum z_i^2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}\hat\alpha\\\hat\beta\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\sum y_i\\\sum y_i z_i\end{bmatrix}>.\)
Solução explícita para \(\hat\beta\), usando inversão 2x2, é
\(\displaystyle \hat\beta=\frac{\sum y_i z_i-(\sum z_i)(\sum y_i)/n}{\sum z_i^2-(\sum z_i)^2/n}.\)
Exemplo:
Modelo com \(z_i=\ln(x_i)\): \(y_i=\alpha+\beta\ln(x_i)+\epsilon_i\).
As equações normais ficam
\(\displaystyle n\hat\alpha+\hat\beta\sum \ln x_i=\sum y_i,\)
\(\displaystyle \hat\alpha\sum \ln x_i+\hat\beta\sum (\ln x_i)^2=\sum y_i\ln x_i.\)
Usando a fórmula fechada,
\(\displaystyle \hat\beta=\frac{\sum y_i\ln x_i-(\sum \ln x_i)(\sum y_i)/n}{\sum (\ln x_i)^2-(\sum \ln x_i)^2/n},\)\
e \(\hat\alpha=(\sum y_i-\hat\beta\sum \ln x_i)/n.\)
Veja como foi cobrado:
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