Como a estimação por efeitos fixos elimina a heterogeneidade individual invariante no tempo em um modelo de painel?

Subtraindo a média temporal de cada indivíduo, o termo α_i se anula.

Para o modelo \( \ln Y_{it}=X_{it}\beta+Td_{it}\delta+\alpha_i+u_{it}\), aplica‑se a transformação within, subtraindo as médias temporais:
\( \ln Y_{it}-\bar{\ln Y}_i=(X_{it}-\bar{X}_i)\beta+(Td_{it}-\bar{Td}_i)\delta+(u_{it}-\bar{u}_i)\).
Como \( \alpha_i-\bar{\alpha}_i=0\), o termo α_i desaparece, permitindo estimar \( \beta\) e \( \delta\) sem viés de características individuais constantes no tempo.

Exemplo:
Considere um painel de uma firma com dois períodos, modelo \( \ln P_{it}=\beta H_{it}+\alpha_i+u_{it}\), onde \(P\) é produtividade e \(H\) horas de treinamento.
Dados: \( \ln P_{1}=4,\;H_{1}=2;\quad \ln P_{2}=5,\;H_{2}=3\).
Médias: \( \bar{\ln P}=4.5,\;\bar H=2.5\).
Após a transformação within: \( \ln P_{1}-\bar{\ln P}=-0.5,\;H_{1}-\bar H=-0.5;\quad \ln P_{2}-\bar{\ln P}=0.5,\;H_{2}-\bar H=0.5\).
As equações tornam‑se \( -0.5=\beta(-0.5)+(u_{1}-\bar u),\;0.5=\beta(0.5)+(u_{2}-\bar u)\), onde α_i não aparece, permitindo estimar β controlando a heterogeneidade fixa.