Flashcard FC624833
Em amostras pequenas, a não normalidade dos termos de erro afeta principalmente o quê no modelo de regressão linear?
Regressão
CESGRANRIO · 2018
Em amostras pequenas, a não normalidade dos termos de erro afeta principalmente o quê no modelo de regressão linear?
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Resposta
As inferências sobre os coeficientes, isto é, testes t, teste F e intervalos de confiança.Explicação:
Se \(\epsilon_i\sim N(0,\sigma^2)\), então \(\hat\beta\sim N(\beta,\sigma^2 (X'X)^{-1})\), o que legitima o uso dos estatísticos exatos, como o t e o F, e garante que os intervalos de confiança tenham cobertura correta.
Sem normalidade e com amostras pequenas, essas distribuições exatas deixam de valer, os p-valores e intervalos podem ser incorretos, comprometendo conclusões sobre os coeficientes. Em amostras grandes, a CLT aproxima a distribuição dos estimadores por uma normal, atenuando o problema.
exemplo:
Considere uma regressão simples com \(n=15\) e interesse na inclinação \(\beta_1\). O estatístico habitual é
\(t=\dfrac{\hat\beta_1-0}{\hat\sigma\sqrt{(X'X)^{-1}_{11}}}\).
Se os erros forem normais, então \(t\sim t_{n-k}\) e o p-valor é válido. Se os erros tiverem caudas pesadas, por exemplo distribuição t com poucos graus de liberdade, e a amostra for pequena, a distribuição real de \(t\) será mais dispersa, o p-valor baseado em \(t_{n-k}\) tende a subestimar a incerteza, e um resultado aparentemente significativo pode ser, na verdade, não confiável.
Veja como foi cobrado:
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