Para um AR(1) estacionário x_t = b_0 + b_1 x_{t-1} + u_t com u_t ruído branco de variância \(\sigma_u^2\), quais são a variância incondicional e a autocovariância de ordem l em fun

\( \sigma_x^2 = \dfrac{\sigma_u^2}{1-b_1^2}\),
\(\gamma_l = b_1^l \sigma_x^2\).

Assumindo estacionaridade, tem-se \(Var(x_t)=Var(x_{t-1})=\sigma_x^2\). Aplicando variância em \(x_t=b_0+b_1x_{t-1}+u_t\), obtém-se \( \sigma_x^2 = b_1^2\sigma_x^2 + \sigma_u^2\). Isolando, \( \sigma_x^2(1-b_1^2)=\sigma_u^2\), portanto \( \sigma_x^2=\dfrac{\sigma_u^2}{1-b_1^2}\). A autocovariância de defasagem \(l\) segue recorrência que leva a \( \gamma_l = b_1^l \sigma_x^2\).

Exemplo:
Considere \(b_1=0.6\) e \(\sigma_u^2=4\).
Calcula-se \( \sigma_x^2 = \dfrac{4}{1-0.6^2} = \dfrac{4}{1-0.36} = \dfrac{4}{0.64} = 6.25\).
Para \(l=2\), \( \gamma_2 = b_1^2 \sigma_x^2 = 0.6^2 \times 6.25 = 0.36 \times 6.25 = 2.25\).