Quais condições sobre α e β garantem que um ARMA(1,1) seja estacionário de segunda ordem, causal e invertível?

|α|<1 e |β|<1.

Explicação:
Para que exista representação causal \(w_t=\sum_{j\ge0}\psi_j e_{t-j}\) com coeficientes absolutamente somáveis, o polinômio autoregressivo deve ter raízes fora do círculo unitário, o que equivale a |α|<1, assim garantindo estacionariedade e causalidade.
Para que a parte MA(1) seja invertível, a raiz do polinômio MA \(1+βz\) deve ficar fora do círculo unitário, o que dá |β|<1, evitando parametrizações equivalentes.
Para ARMA(1,1) tem-se a expansão
\( \displaystyle \frac{1+βB}{1-αB}=\sum_{j\ge0}\psi_j B^j\),
com \( \psi_0=1,\ \psi_j=α^j+β\,α^{\,j-1}=α^{\,j-1}(α+β)\) para \(j\ge1\), cuja soma absoluta converge se \(|α|<1\).

exemplo:
Considere demanda mensal \(y_t\) com \(y_t=0.6\,y_{t-1}+0.5\,e_{t-1}+e_t\).
Como \(|α|=0.6<1\) há representação causal e estacionária, e como \(|β|=0.5<1\) o modelo é invertível.
Calculando os coeficientes da expansão: \(ψ_0=1,\ ψ_1=0.6+0.5=1.1,\ ψ_2=0.6^2+0.6\cdot0.5=0.66,\ ψ_3=0.6^3+0.6^2\cdot0.5=0.396,\) a sequência \(ψ_j\) decai geometricamente e \(\sum_j|ψ_j|<\infty\), confirmando estabilidade causal e invertibilidade.