A partir dos polinômios em L, como determinar (p,d,q) e (P,D,Q)_s de um ARIMA sazonal e como checar estacionaridade e invertibilidade?

Identificação: leia d e D pelos fatores de diferença (1-L)^d e (1-L^s)^D, p e P pelos graus dos polinômios AR (não nulos), q e Q pelos graus dos polinômios MA;
Estacionaridade: todas as raízes do polinômio AR (incluindo o fator sazonal) devem ficar fora do círculo unitário; a presença de (1-L) indica raiz unitária em z=1, logo não estacionaridade em níveis;
Invertibilidade: todas as raízes do polinômio MA devem ficar fora do círculo unitário, se alguma raiz tem módulo ≤1 o modelo não é invertível.

Explicação:
Escreva o modelo geral como \( (1-L)^d\Phi(L^s)\varphi(L)X_t=\theta(L)\Theta(L^s)\varepsilon_t\).
Decompondo, o expoente de \( (1-L)\) dá \(d\), o expoente de \( (1-L^s)\) dá \(D\); o grau de \(\varphi(L)\) é \(p\), de \(\Phi(L^s)\) é \(P\), de \(\theta(L)\) é \(q\) e de \(\Theta(L^s)\) é \(Q\).
Para testar estacionaridade encontre as raízes do polinômio AR total \(\varphi(z)\Phi(z^s)=0\); o modelo é estacionário apenas se todos os \(|z|>1\). Para invertibilidade encontre as raízes de \(\theta(z)\Theta(z^s)=0\); o modelo é invertível apenas se todos os \(|z|>1\).

Exemplo:
Considere \( (1-L)(1-0{,}3L^{12})X_t=(1-0{,}5L)\varepsilon_t\).
Identificação: \(d=1\), \(D=0\), \(\Phi(L^{12})=1-0{,}3L^{12}\) dá \(P=1,s=12\), \(\varphi(L)=1\) então \(p=0\), \(\theta(L)=1-0{,}5L\) então \(q=1\). Logo ARIMA(0,1,1)×(1,0,0)_{12}.
Estacionaridade: existe fator (1-L) ⇒ raiz em \(z=1\), não estacionária em níveis.
Invertibilidade: resolvendo \(1-0{,}5z=0\) obtém-se \(z=2\), \(|z|=2>1\), portanto invertível.