Flashcard FC624873
Qual direção a primeira componente principal em PCA identifica nos dados?
Análise Multivariada
CESGRANRIO · 2024
Qual direção a primeira componente principal em PCA identifica nos dados?
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Resposta
Uma direção linear que maximiza a variância dos dados, dada pelo autovetor ligado ao maior autovalor da matriz de covariância.Explicação:
A primeira componente é o autovetor \(v_1\) de \(\Sigma\) associado ao maior autovalor \(\lambda_1\), tal que \( \Sigma v_1 = \lambda_1 v_1\).
Projetando os dados nessa direção obtemos os escores \(z_1 = X v_1\), que concentram a maior parte da variação amostral.
Exemplo:
Considere \(\Sigma=\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}\).
Os autovalores são \(\lambda=\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}\), o maior é \(\lambda_1=\frac{3+\sqrt{5}}{2}\approx2{,}618\).
O autovetor associado satisfaz \((\Sigma-\lambda_1 I)v_1=0\), por exemplo \(v_1\propto\begin{pmatrix}1\\[4pt]0{,}618\end{pmatrix}\).
Verifica-se que \(\Sigma v_1=\lambda_1 v_1\), e os escores \(z_1=Xv_1\) representam a projeção dos dados nessa direção de máxima variância.
Veja como foi cobrado:
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