Flashcard FC624881
Como calcular a média condicional e a variância condicional de uma sub-vetor em uma normal multivariada?
Análise Multivariada
CESGRANRIO · 2018
Como calcular a média condicional e a variância condicional de uma sub-vetor em uma normal multivariada?
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Resposta
Média condicional: \(\mu_{a|b}=\mu_a+\Sigma_{ab}\Sigma_{bb}^{-1}(x_b-\mu_b)\), Variância condicional: \(\Sigma_{a|b}=\Sigma_{aa}-\Sigma_{ab}\Sigma_{bb}^{-1}\Sigma_{ba}\).Explicação e exemplo:
Para \(X\) particionado como \(X=(X_a,X_b)\), as fórmulas acima dão a distribuição de \(X_a\) condicional a \(X_b=x_b\).
Exemplo:
Considere \(X=(X_1,X_2)^t\), \(\mu=(0,1)^t\), \(\Sigma=\begin{pmatrix}2&0.5\\[4pt]0.5&1\end{pmatrix}\).
Aplicando as fórmulas, para \(X_1\) dado \(X_2=x_2\):
\(\mu_{1|2}=0+0.5\cdot 1^{-1}(x_2-1)=0.5(x_2-1)\)
\(\sigma^2_{1|2}=2-0.5\cdot 1^{-1}\cdot 0.5=1.75\)
Portanto \(X_1\mid X_2\sim N\big(0.5(x_2-1),\,1.75\big)\).
Veja como foi cobrado:
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