Como usar o Teorema Central do Limite para aproximar P(S_n > a) quando X_i são i.i.d. com média μ e variância σ^2?

Padronize a soma e use a normal padrão:
\(Z=\dfrac{S_n-n\mu}{\sigma\sqrt{n}},\quad P(S_n>a)\approx P\!\left(Z>\dfrac{a-n\mu}{\sigma\sqrt{n}}\right).\)

Explicação:
Para n grande, \(S_n\) tem aproximadamente distribuição normal com média \(n\mu\) e variância \(\sigma^2 n\), use a padronização acima para transformar o problema em probabilidade envolvendo a \(N(0,1)\).
Passos: calcule \(n\mu\) e \(\sigma\sqrt{n}\), forme \(z=(a-n\mu)/(\sigma\sqrt{n})\), e avalie \(P(S_n>a)\approx 1-\Phi(z)\) quando \(z>0\).

Exemplo:
Considere \(X_i\) i.i.d. com \(\mu=2\) e \(\sigma^2=4\), e \(n=36\). Queremos \(P(S_{36}>80)\).
Calcule \(n\mu=36\cdot2=72\), \(\sigma\sqrt{n}=2\cdot6=12\).
Então \(z=\dfrac{80-72}{12}=\dfrac{8}{12}\approx0{,}6667\).
Logo \(P(S_{36}>80)\approx 1-\Phi(0{,}6667)\approx 0{,}2525\).