Flashcard FC624911
Se X_i são i.i.d. e g é tal que E[|g(X)|]<∞, o que afirma a Lei Forte dos Grandes Números sobre \( \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n g(X_i)\)?
Lei dos Grandes Números e Teorema do Limite Central
CESGRANRIO · 2013
Se X_i são i.i.d. e g é tal que E[|g(X)|]<∞, o que afirma a Lei Forte dos Grandes Números sobre \( \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n g(X_i)\)?
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Resposta
Converge quase certamente para \(E[g(X)]\).Explicação:
Pela Lei Forte, \( \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n g(X_i)\xrightarrow{\text{q.s.}}E[g(X)]\), desde que \(E[|g(X)|]<\infty\).
Se definirmos uma sequência transformada por uma função contínua, por exemplo \(Z_n=\sqrt{\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n g(X_i)}\) e a média converge para um valor não negativo, então \(Z_n\xrightarrow{\text{q.s.}}\sqrt{E[g(X)]}\).
Exemplo:
Se \(X_i\sim\text{Uniform}(0,2)\) e \(g(x)=x^2\), então
\(E[g(X)]=\int_0^2 x^2\cdot\dfrac{1}{2}\,dx=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{8}{3}=\dfrac{4}{3}.\)
Assim \( \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i^2\xrightarrow{\text{q.s.}}\dfrac{4}{3}\), e portanto
\( \sqrt{\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i^2}\xrightarrow{\text{q.s.}}\sqrt{\dfrac{4}{3}}.\)
Veja como foi cobrado:
https://flashcardsconcursos.com.br/portal/flashcard/624252
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