Como se obtém o vetor de médias de um VAR(1) estacionário a partir das constantes e da matriz de coeficientes?

\( \mu = (I - A)^{-1} c \)

Explicação:, Tomando expectativas em \(X_t = c + A X_{t-1} + \varepsilon_t\) obtemos \( \mu = c + A\mu\).
Rearranjando, \((I - A)\mu = c\), desde que \(I-A\) seja invertível, então \(\mu = (I-A)^{-1}c\).

Exemplo:
Considere
\(X_{1,t} = 2 + 0.3X_{1,t-1} + 0.2X_{2,t-1} + \varepsilon_{1,t}\)
\(X_{2,t} = -1 + 0.4X_{1,t-1} + 0.5X_{2,t-1} + \varepsilon_{2,t}\)
Em forma matricial, \(c=\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}\), \(A=\begin{pmatrix}0.3 & 0.2\\[4pt]0.4 & 0.5\end{pmatrix}\).
Calcule \(I-A=\begin{pmatrix}0.7 & -0.2\\[4pt]-0.4 & 0.5\end{pmatrix}\), então o sistema é
\(0.7\mu_1 - 0.2\mu_2 = 2\)
\(-0.4\mu_1 + 0.5\mu_2 = -1\)
Da primeira, \(\mu_2 = 3.5\mu_1 -10\). Substituindo na segunda,
\( -0.4\mu_1 +0.5(3.5\mu_1 -10) = -1 \Rightarrow 1.35\mu_1 = 4\), assim \(\mu_1 = \tfrac{80}{27}\).
Logo \(\mu_2 = 3.5\cdot\tfrac{80}{27}-10 = \tfrac{10}{27}\).
Portanto \(\mu = \begin{pmatrix}80/27\\[4pt]10/27\end{pmatrix}\).