Qual é a definição matemática da função de ligação probit e como se obtém o efeito marginal de um coeficiente?

A função de ligação probit é g(p)=Φ⁻¹(p), e o efeito marginal de \(X_j\) é \( \partial P/\partial X_j=\phi(X\beta)\beta_j\).

Explicação:
A modelagem probit escreve-se como \( \Phi^{-1}(P(Y=1\mid X))=X\beta\), onde Φ é a CDF da normal padrão, φ é a densidade da normal padrão.
O coeficiente β_j mede a variação na escala latente z por unidade de \(X_j\), para obter o efeito sobre a probabilidade usamos \( \partial P/\partial X_j=\phi(X\beta)\beta_j\), a qual depende do ponto \(X\beta\).

Exemplo:
Considere a probabilidade de aprovação em função de horas de estudo, com modelo \( \Phi^{-1}(P(\text{aprova}\mid horas))=\beta_0+\beta_1 \cdot horas\).
Suponha \(\beta_0=-1,\ \beta_1=0.5\) e horas=2, então
\(X\beta=-1+0.5\cdot 2=0\).
A densidade padrão em 0 é
\(\phi(0)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\approx 0.3989\).
O efeito marginal de uma hora extra é
\(\partial P/\partial horas=\phi(0)\beta_1\approx 0.3989\times 0.5\approx 0.1995\).
Portanto, neste ponto, uma hora adicional aumenta a probabilidade de aprovação em cerca de 0.20, e a probabilidade atual é
\(P=\Phi(0)=0.5\).