Como se calcula o valor inicial quando um preço sofre um aumento de p% seguido de uma redução de q% e se conhece o valor final?

Divida o valor final pelo produto dos fatores multiplicativos, com aumento \(p\%\) → \(1+\dfrac{p}{100}\), redução \(q\%\) → \(1-\dfrac{q}{100}\).

Seja x o valor inicial, então o valor final é
\(V = x\left(1+\dfrac{p}{100}\right)\left(1-\dfrac{q}{100}\right)\),
portanto
\(x=\dfrac{V}{\left(1+\dfrac{p}{100}\right)\left(1-\dfrac{q}{100}\right)}\).

Exemplo:
Suponha que o preço final seja R\$198 após um aumento de 20% e depois uma redução de 10%.
Os fatores são \(1{.}20\) e \(0{.}90\), produto \(1{.}20\times0{.}90=1{.}08\).
Logo \(x=\dfrac{198}{1{.}08}=\;183{.}333\ldots\), ou seja, R\$183,33 (arredondando).