Como calcular o número de colorações distintas de m posições usando m cores distintas quando rotações do objeto não geram novas colorações?

Resposta

\( \displaystyle \text{Número}=\dfrac{m!}{|G|}\), onde |G| é o número de orientações (rotações) do objeto.

Explicação completa:
Se cada posição recebe uma cor distinta, há \(m!\) atribuições possíveis sem considerar simetrias, logo dividimos pelo número de rotações que identificam configurações equivalentes, ou seja por |G|, obtendo \( \dfrac{m!}{|G|}\).

Exemplo:
Considere um tetraedro com 4 faces, o grupo de rotações tem \(|G|=12\). Usando 4 cores distintas, o número de colorações distintas é
\( \dfrac{4!}{12}=\dfrac{24}{12}=2\).
Se houvesse 5 cores disponíveis e escolhermos 4 para pintar, há \(\binom{5}{4}=5\) escolhas de cores, cada uma gerando 2 colorações distintas, totalizando \(5\times2=10\) colorações.