Qual condição envolvendo o discriminante garante que a equação quadrática ax^2+bx+c=0 tenha pelo menos uma raiz real?

Resposta

Δ ≥ 0, onde \(Δ=b^2-4ac\).

Explicação: Se \(Δ>0\) existem duas raízes reais distintas, se \(Δ=0\) existe uma raiz real dupla, se \(Δ<0\) não há raízes reais.
Da desigualdade \(b^2-4ac\ge0\) segue \(ac\le\frac{b^2}{4}\), portanto dado um \(b\) fixo, essa é a condição sobre \(a\) e \(c\).

Exemplo: Tome \(a=2\), \(b=6\), \(c=4\).
\(Δ=6^2-4\cdot2\cdot4=36-32=4\ge0\).
As raízes são \(x=\frac{-b\pm\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-6\pm2}{4}\), ou seja \(x=-1\) e \(x=-2\).