Flashcard FC628192
Qual a fórmula para a soma das raízes de uma quadrática \(ax^2+bx+c\) e quando a sequência dessas somas forma uma PG convergente?
Progressão Geométrica
NC UFPR (FUNPAR) · 2018
Qual a fórmula para a soma das raízes de uma quadrática \(ax^2+bx+c\) e quando a sequência dessas somas forma uma PG convergente?
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Resposta
\(x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}\), e se os termos obedecem \(s_n=s_1 q^{\,n-1}\) com \(|q|<1\) a soma infinita é \(\dfrac{s_1}{1-q}\).Explicação: A soma das raízes de \(ax^2+bx+c\) vem das relações de Viète, \(x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}\).
Se a sequência \((s_n)\) possui razão constante \(q=\dfrac{s_{n+1}}{s_n}\), então é uma PG; quando \(|q|<1\) a soma infinita converge e vale \(\dfrac{s_1}{1-q}\).
Exemplo: Considere \(p_n(x)=x^2+\dfrac{2}{5^n}x-5^n\).
Temos \(s_n=-\dfrac{2}{5^n}=-2\cdot5^{-n}\), então \(s_1=-\tfrac{2}{5}\) e \(q=\tfrac{1}{5}\).
Assim \(S=\dfrac{s_1}{1-q}=\dfrac{-\tfrac{2}{5}}{1-\tfrac{1}{5}}=\dfrac{-\tfrac{2}{5}}{\tfrac{4}{5}}=-\tfrac{1}{2}\).
Veja como foi cobrado:
https://flashcardsconcursos.com.br/portal/flashcard/626211
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