Como resolver uma equação quadrática para achar os instantes t em que uma função \(f(t)=at^2+bt+c\) atinge um valor dado e escolher o primeiro instante após \(t=0\)?

Resposta

Trazer para a forma padrão \(at^2+bt+(c-k)=0\), calcular \(\Delta=b^2-4ac\), aplicar \(t=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}\) e escolher a menor raiz positiva.

Explicação:
Primeiro substitua o valor desejado no lugar de \(f(t)\) e reorganize para obter \(a t^2 + b t + c' = 0\), com \(c'=c-k\).
Calcule \(\Delta=b^2-4a c'\).
Se \(\Delta<0\) não há soluções reais, se \(\Delta\ge0\) use a fórmula quadrática e escolha entre as raízes a menor que seja positiva, esse será o primeiro instante após o lançamento.

Se \(s(t)=3+12t-4t^2\) e queremos o instante em que \(s(t)=7\):

\(3+12t-4t^2=7 \Rightarrow -4t^2+12t-4=0 \Rightarrow 4t^2-12t+4=0\)

\(\Delta=(-12)^2-4\cdot4\cdot4=144-64=80,\ \sqrt{\Delta}=\sqrt{80}\)

\(t=\dfrac{12\pm\sqrt{80}}{8}\Rightarrow t_1=\dfrac{12-\sqrt{80}}{8}\approx0{,}382\ \text{s},\ t_2=\dfrac{12+\sqrt{80}}{8}\approx2{,}618\ \text{s}.\)

O primeiro instante após \(t=0\) é \(t\approx0{,}382\ \text{s}.\)