Como determinar o menor t que satisfaça \(a^{ct}>M\), com \(a>1,\;c>0,\;M>0\)?

Tomar logaritmo e isolar t, obtendo \(t>\dfrac{\log M}{c\log a}\).

Explicação:
Partindo de \(a^{ct}>M\), com \(a>1\), aplicamos logaritmo em qualquer base (por exemplo base \(a\) ou 10), ficamos com \(ct>\log_a M\), portanto \(t>\dfrac{\log_a M}{c}=\dfrac{\log M}{c\log a}\).
Se \(t\) deve ser inteiro, tomar o menor inteiro maior que esse valor (função teto).

Exemplo:
Suponha \(P(t)=100\cdot3^{0{,}2t}\) e queremos o menor \(t\) com \(P(t)>5000\).
\(100\cdot3^{0{,}2t}>5000\Rightarrow 3^{0{,}2t}>50\Rightarrow 0{,}2t>\log_3 50\Rightarrow t>\dfrac{\log 50}{0{,}2\log 3}\).
Numericamente, \(\log 50\approx1{,}699,\;\log 3\approx0{,}477\), então \(t> \dfrac{1{,}699}{0{,}2\cdot0{,}477}\approx17{,}8\).
Como \(t\) inteiro, são necessários 18 dias. Verificação: \(P(18)=100\cdot3^{3{,}6}\approx100\cdot52{,}03\approx5203>5000\).