Se uma função quadrática tem única raiz r (raiz dupla), como expressar seus coeficientes em função de r?

b = -2ar e c = ar^2, para a equação \(ax^2+bx+c=0\), com discriminante zero \(b^2-4ac=0\).

Explicação:
Se as raízes são iguais a r e r, a soma das raízes é \(2r=-\tfrac{b}{a}\) e o produto é \(r^2=\tfrac{c}{a}\).
Daí vem \(b=-2ar\) e \(c=ar^2\), o que implica \(b^2-4ac=0\).

Exemplo:
Considere \(x^2+bx+c\) com raiz dupla \(r=3\).
Então \(b=-2\cdot1\cdot3=-6\) e \(c=3^2=9\).
Verificação: \(b^2-4c=36-36=0\), confirma raiz dupla em \(r=3\).