Como se determina o domínio e resolve-se uma inequação racional ao reduzi-la a uma única fração?

Resposta: Exclui-se os zeros dos denominadores, reduz-se à única fração com denominador comum, e estuda-se o sinal dessa fração pelos pontos críticos.

Explicação passo a passo

1. Identificar o domínio, excluir valores que anulam qualquer denominador.
2. Reduzir as expressões ao mesmo denominador, subtrair ou somar numeradores, obter uma única fração \( \dfrac{N(x)}{D(x)} \).
3. Observar os pontos críticos, que são raízes de \(N(x)\) e de \(D(x)\).
4. Fazer a análise de sinal da fração em cada intervalo determinado por esses pontos, incluindo ou excluindo extremos conforme a desigualdade (>, <, ≥, ≤).

Exemplo:
Resolver \( \dfrac{1}{x-2}>\dfrac{1}{x^2-4} \).

Domínio: \(x\neq\pm2\).
Denominador comum \(x^2-4=(x-2)(x+2)\).
\( \dfrac{1}{x-2}-\dfrac{1}{x^2-4}=\dfrac{x+1}{(x-2)(x+2)}\).
Resolver \( \dfrac{x+1}{(x-2)(x+2)}>0\). Pontos críticos: \(-2,-1,2\).
Testando intervalos:
- \(x<-2\): quociente <0;
- \(-20;
- \(-1- \(x>2\): quociente >0.
Como é ">", exclui-se pontos onde numerador é zero ou denominador é zero, logo solução em intervalos: \( (-2,-1)\cup(2,\infty)\).