Como calcular tg(x+y) usando a fórmula da tangente da soma, quando se conhece uma razão trigonométrica de x e outra de y e se sabe o quadrante?

Resposta

Use a fórmula \( \tan(x+y)=\dfrac{\tan x+\tan y}{1-\tan x\,\tan y}\), primeiro obtendo \(\tan x\) e \(\tan y\) a partir das razões dadas com \( \sin=\sqrt{1-\cos^2}\) ou \( \cos=\sqrt{1-\sin^2}\), respeitando os sinais do quadrante.

Explicação e exemplo:
Passos: calcular as razões faltantes pelo teorema de Pitágoras, determinar \(\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}\) e \(\tan y=\dfrac{\sin y}{\cos y}\), aplicar a fórmula da soma.

Exemplo:
Se \(\cos u=\tfrac{12}{13}\) e \(\sin v=\tfrac{8}{17}\), com \(u,v\) no 1.º quadrante, então
\(\sin u=\sqrt{1-(12/13)^2}=\sqrt{1-144/169}=\tfrac{5}{13}\), \(\cos v=\sqrt{1-(8/17)^2}=\sqrt{1-64/289}=\tfrac{15}{17}\).
\(\tan u=\dfrac{5/13}{12/13}=\tfrac{5}{12}\), \(\tan v=\dfrac{8/17}{15/17}=\tfrac{8}{15}\).
Logo
\(\tan(u+v)=\dfrac{\tfrac{5}{12}+\tfrac{8}{15}}{1-\tfrac{5}{12}\cdot\tfrac{8}{15}}=\dfrac{\tfrac{57}{60}}{1-\tfrac{2}{9}}=\dfrac{57/60}{7/9}=\dfrac{57}{60}\cdot\dfrac{9}{7}=\dfrac{171}{140}.\)