Flashcard FC628216
Quando, em termos de dependência linear, um sistema linear admite infinitas soluções?
Álgebra Linear Elementar
NC UFPR (FUNPAR) · 2023
Quando, em termos de dependência linear, um sistema linear admite infinitas soluções?
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Resposta
Quando uma equação for combinação linear das outras, de modo que o posto da matriz de coeficientes seja igual ao posto da matriz aumentada e menor que o número de incógnitas.Explicação:
Se existe dependência linear entre as equações, uma delas pode ser obtida por combinação linear das demais, então posto(A) = posto(A|b) < n, isso garante infinitas soluções, onde n é o número de incógnitas.
Exemplo:
Considere o sistema
\( \begin{cases} x+y+z=2\\[4pt] 2x-y+3z=5\\[4pt] 3x+0y+4z=7 \end{cases} \)
Somando a primeira e a segunda equações obtemos
\( (x+y+z)+(2x-y+3z)=3x+0y+4z=2+5=7 \), que coincide com a terceira.
Logo a terceira é combinação linear das duas primeiras, portanto posto(A)=posto(A|b)=2<3, e o sistema tem infinitas soluções.
Veja como foi cobrado:
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