Como se obtém o seno do ângulo entre dois lados a e b a partir da área A do triângulo?

Use \( \sin\alpha=\dfrac{2A}{ab}\).
Se \( \sin\alpha=1\), então \(\alpha=90^\circ\) e os lados são catetos.

Da fórmula da área, \(A=\tfrac{1}{2}ab\sin\alpha\), portanto \(\sin\alpha=\dfrac{2A}{ab}\).
Se \(\sin\alpha=1\), então \(\alpha=90^\circ\), assim o terceiro lado é a hipotenusa, \(x=\sqrt{a^2+b^2}\).
Exemplo:
Se \(a=5\), \(b=8\) e \(A=20\), então \(\sin\alpha=\dfrac{2\cdot20}{5\cdot8}=\dfrac{40}{40}=1\), logo \(\alpha=90^\circ\).
Portanto \(x=\sqrt{5^2+8^2}=\sqrt{89}\).